Question

已知：如图，在ΔABC中，∠C=90º，AC=BC，M是AB的中点，P是AB上一动点（P不与A、B

已知：如图，在ΔABC中，∠C=90º，AC=BC，M是AB的中点，P是AB上一动点（P不与A、B重合），PE⊥AC于E，PF⊥BC于F
⑴求证ME=MF，ME⊥MF
⑵如果点P移动到AB延长线上，上题的结论是否依然成立，加以证明

Answer 1

（1）首先连接C、M两点。

已知ac=bc  角ABC是直角  所以△ABC为等腰直角三角形。

PF⊥BC，所以△PFB也是一个以等腰直角三角形 且PF=BF.

另PE⊥AC 所以四边形CFPE为矩形

EC=PF=BF.且等边直角三角形的中线等于斜边的二分之一 

则CM=BM.角ACM=角FBM.

综上所述△ECM和△FBM为全等三角形  MF=ME. 角EMC=角FMB. 角CMF+角FMB=90°

所以 角CMF+角EMC=角EMF=90°

即  所以 ME⊥MF。

（2）

延长AB   AC   CB

角ACB=90  所以角FCE=90且已知PE⊥AC于E，PF⊥BC于F

综上 四边形CEPF为矩形 所以 CE=PF

角MCB=45   所以角CBM=45=角FBP

所以三角形BFP为等腰直角三角形

则CE=BF

已知CM=MB 且CE=BF

角MCE=角MBF=135°

可以得出△MCE和△MBF是全等三角  

则ME=MF  且 角CME+角EMB=90

所以角EMB+角BMF=90  即 ME⊥MF