Question

设函数f（x）=x（x-1） 2 ，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为

设函数f（x）=x（x-1） 2 ，x＞0．（1）求f（x）的极值；（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数 G(a)= F(a) a 的最小值；（3）设函数g（x）=lnx-2x 2 +4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．

Answer 1

（1）f′（x）=（x-1） 2 +2x（x-1）=3x 2 -4x+1=（3x-1）（x-1），x＞0．令f′（x）=0，得x= 1 3 或x=1，f（x），f′（x）随x的变化情况如下表 ∴当x= 1 3 时，有极大值f（ 1 3 ）= 4 27 ，当x=1时，有极小值f（1）=0． （2）由（1）知：f（x）在（0， 1 3 ]，[1，+∞）上是增函数，在[ 1 3 ，1]上是减函数， ①0＜a≤ 1 3 时，F（a）=a（a-1） 2 ，G（a）=（a-1） 2 ≥ 4 9 特别的，当a= 1 3 时，有G（a）= 4 9 ， ②当 1 3 ＜a≤1时，F（a）=f（ 1 3 ）= 4 27 ，G（a）= 4 27 a ≥ 4 27 特别的，当a=1时，有G（a）= 4 27 ， 由①②知，当0＜a≤1时，函数 G(a)= F(a) a 的最小值为 4 27 ． （3）由已知得h 1 （x）=x+m-g（x）=2x 2 -3x-lnx+m-t≥0在（0，+∞）上恒成立， ∵ h′ 1 (x)= (4x+1)(x-1) x ， ∴x∈（0，1）时，h′ 1 （x）＜0，x∈（1，+∞）时，h 1 （x）＞0 ∴x=1时，h′ 1 （x）取极小值，也是最小值， ∴当h 1 （1）=m-t-1≥0，m≥t+1时，h 1 （x）≥0在（0，+∞）上恒成立， 同样，h 2 （x）=f（x）-x-m=x 3 -2x 2 -m≥0在（0，+∞）上恒成立， ∵h′ 2 （x）=3x（x- 4 3 ）， ∴x∈（0， 4 3 ）时，h′ 2 （x）＜0，x∈（ 4 3 ，+∞），h′ 2 （x）＞0， ∴x= 4 3 时，h 2 （x）取极小值，也是最小值， ∴ h 2 ( 4 3 ) =- 32 27 -m≥0，m≤- 32 27 时，h 2 （x）≥0在（0，+∞）上恒成立， ∴t+1≤m≤- 32 27 ， ∵实数m有且只有一个，∴m=- 32 27 ，t= - 59 27 ．