Question

请阅读下列材料：问题：如图（2），一圆柱的高AB=5dm，底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出

请阅读下列材料：问题：如图（2），一圆柱的高AB=5dm，底面半径为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：沿侧面展开图中的线段AC．如下图（2）所示：设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+（5π）2=25+25π2路线2：高线AB+底面直径BC．如上图（1）所示：设路线2的长度为l2，则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225∵l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25（π2-8）＞0∴l12＞l22，∴l1＞l2所以要选择路线2较短．（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1dm，高AB仍为5dm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=AB2+BC2=______；路线2：l22=（AB+BC）2=______．∵l12______l22，∴l1______l2（ 填＞或＜）所以应选择路线______（填1或2）较短．（2）请你帮小明继续研究：设圆柱的底面半径为r，高为h，当蚂蚁走上述两条路线的路程出现相等情况时，求出此时h与r的比值（本小题π的值取3）．

Answer 1

（1）路线1：l₁²=AC²=25+π²（dm²）．
路线2：l₂²=（AB+BC）²=49（dm²）．
∵l₁²＜l₂²，
∴l₁＜l₂（填＞或＜），
∴选择路线1（填1或2）较短．（5分）

（2）l₁²=AC²=AB²+BC²=h²+（πr）²，
l₂²=（AB+BC）²=（h+2r）²，
l₁²-l₂²=h²+（πr）²-（h+2r）²=r（π²r-4r-4h）=r[（π²-4）r-4h]；
r恒大于0，只需看后面的式子即可．（2分）
当 r＝

4h

π2?4

，
即h：r=5：4时，l₁²=l₂²．