Question

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1．1）求{an}、{bn}的通项公

已知数列{an}为等差数列，a3=5，a7=13，数列{bn}的前n项和为Sn，且有Sn=2bn-1．1）求{an}、{bn}的通项公式；2）若cn=anbn，{cn}的前n项和为Tn，求Tn．

Answer 1

（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=5，a₇=13，设公差为d．
∴

a1+2d＝5 a1+6d＝13

，解得

a1＝1 d＝2

∴a_n=1+2（n-1）=2n-1（n∈N^*）
在{b_n}中，∵S_n=2b_n-1
当n=1时，b₁=2b₁-1，∴b₁=1
当n≥2时，由S_n=2b_n-1及S_n-1=2b_n-1-1，
得b_n=2b_n-2b_n-1，∴b_n=2b_n-1
∴{b_n}是首项为1公比为2的等比数列
∴bn＝2n?1（n∈N^*）
（2）∵cn＝anbn＝(2n?1)?2n?1，
∴Tn＝1+3?2+5?22+…+(2n?1)?2n?1①2Tn＝1?2+3?22+5?23+…+(2n?3)?2n?1+(2n?1)?2n②
①-②得 ?Tn＝1+2?2+2?22+…+2?2n?1?(2n?1)?2n
=1+2?

2(1?2n?1)

1?2

?(2n?1)?2n
=1+4（2^n-1-1）-（2n-1）?2ⁿ=-3-（2n-3）?2ⁿ
∴Tn＝(2n?3)?2n+3（n∈N^*）