Question

已知数列{an}是等差数列,a3=5,a5=9.数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(1-bn)/2(n∈N*).(1)求数列{an}和{bn}的通

已知数列{an}是等差数列,a3=5,a5=9.数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(1-bn)/2(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若cn=an·bn,求数列{cn}的前n项和Tn.

Answer 1

（1）已知是等差数列，则：a5-a4=a4-a3=d，
有：2a4=a3+a5=14，所以，a4=7。
得出公差d=2，所以a2=3，a1=1。
等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d，
所以：an=1+2(n-1)=2n-1。

答：
S1=b1且S1=(1-b1)/2，解出b1=1/3=1/3^1；
S2=b1+b2且S2=(1-b2)/2，解出b2=1/9=1/3^2；
S3=b1+b2+b3且S3=(1-b3)/2，解出b3=1/27=1/3^3；
所以，bn=1/3^n。

（2）答：
c1=a1·b1=1/3
c2=a2·b2=3/9
c3=a3·b3=5/27
.........
cn=an·bn=(2n-1)/3^n
故Tn=1/3+3/9+5/27+.....+(2n-1)/3^n——————(1)式
(1)式左右两边同除以3，得：
1/3Tn=1/9+3/27+.....+(2n-1)/3^(n+1)——————(2)式
(1)式—(2)式，得：
2/3Tn=1/3+2/9+2/27+.....+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)
2/3Tn=2/3+2/9+2/27+.....+2/3^n-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
2/3Tn=(1-1/3)+(1/3-1/9)+(1/9-1/27)+.....+{1/3^(n-1)-1/3^n}-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
2/3Tn=1-1/3^n-(2n-1)/3^(n+1)-1/3
Tn=(3^n-n-1)/3^n

Answer 2

an=2n-1
bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn)/2
3bn=bn-1
bn=bn-1/3=b1/3^n-1
b1=s1=(1-b1)/2
b1=1/3
所以bn=1/3^n
cn=an*bn=(2n-1)/3^n
Tn=2Pn-Qn
其中Qn=∑1/3^n=(1-1/3^n)/2
Pn=∑n/3^n
Pn/3=∑n/3^n+1
所以2Pn/3=(∑1/3^n)-n/3^n+1
2Pn=(3-1/3^n-1)/2-n/3^n
所以Tn=2Pn-Qn=(3-1/3^n-1)/2-n/3^n-(1-1/3^n)/2=1-(n+1)/3^n
PS:这题目应该是数学最后一题的难度大小,每年的高考练习题貌似都有这道,很典型.