Question

已知f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0恒成立．

已知f（x）的定义域为（0，+∞），满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0恒成立．（1）求f(1)，f(14)，f(8)的值．（2）证明：函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．（3）求关于x的不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集．

Answer 1

（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=1得：f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0；
令y=

1

x

，
则f（x）+f（

1

x

）=f（x?

1

x

）=f（1）=0，
∴f（

1

4

）+f（4）=0，
又当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（2）=1，
∴f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=1+1=2，
∴f（

1

4

）=-f（4）=-2；
同理可得，f（8）=3f（2）=3；
（2）设0＜x₁＜x₂，
则

x2

x1

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＞0恒成立，f（x）+f（

1

x

）=0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（3）∵f（x）+f（x-2）≤3=f（8），且函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，
∴

x＞0 x?2＞0 x(x?2)≤8

，即

x＞2 (x?4)(x+2)≤0

，
解得：2＜x≤4，
∴不等式f（x）+f（x-2）≤3的解集为{x|2＜x≤4}．