Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N+）（I）求证{an+1}是等比数列，并求an；（II）bn=nan+

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n（n∈N+）（I）求证{an+1}是等比数列，并求an；（II）bn=nan+n，求数列{bn}的前n项和为Tn．

Answer 1

（I）∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），
∴当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1）．
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1-1，即a_n=2a_n-1+1（n≥2）．…（3分）
又∵a₁=1，可知a_n＞0，
∴当n≥2时，

an+1

an?1+1

＝2
∴{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
故a_n+1=2?2^n-1=2ⁿ，也即a_n=2ⁿ-1
（II）b_n=na_n+n=n?2ⁿ，
T_n=1?2+2?2²+3?2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ，
2T_n=1?2²+2?2³+3?2⁴+…+（n-1）?2ⁿ+n?2ⁿ⁺¹，
两式相减，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n?2ⁿ⁺¹，
-T_n=

2(1?2n)

1?2

-n?2ⁿ⁺¹，
得T_n=（n-1）?2ⁿ⁺¹+2