(2014?市中区一模)在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交于点F,连接AB
(2014?市中区一模)在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交于点F,连接AB′,DB′,FC.下列结论:①AB′=AD;②△F...
(2014?市中区一模)在正方形ABCD中,点E为BC边的中点,点B′与点B关于AE对称,B′B与AE交于点F,连接AB′,DB′,FC.下列结论:①AB′=AD;②△FCB′为等腰直角三角形;③∠ADB′=75°;④∠CB′D=135°.其中正确的是( )A.①②B.①②④C.③④D.①②③④
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①∵点B′与点B关于AE对称,
∴△ABF与△AB′F关于AE对称,
∴AB=AB′,
∵AB=AD,
∴AB′=AD.故本选项正确;
②如图,连接EB′.
则BE=B′E=EC,
∠FBE=∠FB′E,
∠EB′C=∠ECB′.
则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°,
即△BB′C为直角三角形.
∵FE为△BCB′的中位线,
∴B′C=2FE,
∵△B′EF∽△AB′F,
∴
=
,
即
=
=
,
故FB′=2FE.
∴B′C=FB′.
∴△FCB′为等腰直角三角形.
故本选项正确.
④设∠ABB′=∠AB′B=x度,
∠AB′D=∠ADB′=y度,
则在四边形ABB′D中,2x+2y+90°=360°,
即x+y=135度.
又∵∠FB′C=90°,
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°.
故本选项正确.
③假设∠ADB′=75°成立,
则∠AB′D=75°,
∠ABB′=∠AB′B=360°-135°-75°-90°=60°,
∴△ABB′为等边三角形,
故B′B=AB=BC,与B′B<BC矛盾,
故本选项错误.
故选B.
∴△ABF与△AB′F关于AE对称,
∴AB=AB′,
∵AB=AD,
∴AB′=AD.故本选项正确;
②如图,连接EB′.
则BE=B′E=EC,
∠FBE=∠FB′E,
∠EB′C=∠ECB′.
则∠FB′E+∠EB′C=∠FBE+∠ECB′=90°,
即△BB′C为直角三角形.
∵FE为△BCB′的中位线,
∴B′C=2FE,
∵△B′EF∽△AB′F,
∴
FE |
FB′ |
EB′ |
AB′ |
即
FE |
FB′ |
EB |
AB |
1 |
2 |
故FB′=2FE.
∴B′C=FB′.
∴△FCB′为等腰直角三角形.
故本选项正确.
④设∠ABB′=∠AB′B=x度,
∠AB′D=∠ADB′=y度,
则在四边形ABB′D中,2x+2y+90°=360°,
即x+y=135度.
又∵∠FB′C=90°,
∴∠DB′C=360°-135°-90°=135°.
故本选项正确.
③假设∠ADB′=75°成立,
则∠AB′D=75°,
∠ABB′=∠AB′B=360°-135°-75°-90°=60°,
∴△ABB′为等边三角形,
故B′B=AB=BC,与B′B<BC矛盾,
故本选项错误.
故选B.
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