Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1，n∈N*（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{nan}的前n项和

已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn=3an-1，n∈N*（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列{nan}的前n项和Tn．

Answer 1

（I）∵2S_n=3a_n-1①
∴2S_n-1=3a_n-1-1，（n≥2）②
①-②得2S_n-2S_n-1=3a_n-3a_n-1=2a_n，
即a_n=3a_n-1，
 又n=1时，2S₁=3a₁-1=2a₁∴a₁=1
∴{a_n}是以a₁=1为首项，以q=3为公比的等比数列．
∴a_n=a₁q^n-1=3^n-1
（II）T_n=1?3⁰+2?3¹+3?3²+…+n?3^n-1，
3T_n=1?3¹+2?3²+3?3³+…+n?3ⁿ，
两式相减得
-2T_n=1+3¹+3²+…+3^n-1-n?3ⁿ=

1?3n

1?3

-n?3ⁿ，
∴T_n=

(2n?1)3n

4

+

1

4

∴数列{na_n}的前n项和为

(2n?1)3n

4

+

1

4