Question

如图，点P在以AB为直径的半圆内，连AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线

如图，点P在以AB为直径的半圆内，连AP、BP，并延长分别交半圆于点C、D，连接AD、BC并延长交于点F，作直线PF，下列说法正确的是: ①AC垂直平分BF；②AC平分∠BAF；③PF⊥AB；④BD⊥AF. A．①② B．①④ C．②④ D．③④

Answer 1

D．

试题分析：①∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴AC垂直BF，但不能得到AC平分BF， 故①错误； ②假设AC平分∠BAF，我们有：∠CAB=∠CAF，由①知：AC垂直BF，∴∠ACB=∠ACF=90°，∴∠ACB-∠CAB=∠ACF-∠CAF，即：∠ ABC=∠AFC，从而得到△ABF是等腰三角形。又因为AC垂直BF，根据等腰三角形的三线合一知：AC平分BF，这与①不能得到AC平分BF相矛盾。 故②错误； ③∵AB为直径， ∴∠ACB=90°，∠FPD=90°， ∵三角形的三条高线所在的直线交于一点， ∴FP⊥AB， 故③正确； ④∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∴BD⊥AF． 故④正确， 综上所述只有③④正确， 故选D．