Question

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（1）求

如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．（1）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；（2）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

证明：（1）因为A₁A=A₁C，且O为AC的中点，所以A₁O⊥AC．又由题意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交线为AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．…（3分）
如图，以O为原点，OB，OC，OA₁所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意可知A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=

1

2

AC=1，
所以得：O(0，0，0)，A(0，?1，0)，A1(0，0，

3

)，C(0，1，0)，C1(0，2，

3

)，B(1，0，0)
则有：

A1C

＝(0，1，?

3

)，

AA1

＝(0，1，

3

)，

AB

=（1，1，0）．
设平面AA₁B的一个法向量为n=（x，y，z），则有 

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