Question

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC．（Ⅰ）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BC

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，侧面BCC1B1⊥底面ABC．（Ⅰ）若M、N分别为AB、A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60°．问在线段CC1上是否存在一点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为60°，若存在，求BP的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

解答：解：（I）连接AC₁，BC₁，∵M、N分别为AB、A₁C的中点，
∴MN

∥

.

1

2

BC1，MN?平面BCC₁B₁；BC₁?平面BCC₁B₁；
∴MN∥平面BCC₁B₁；
（II）过B₁作BC的垂线，垂足为O，∵侧面BCC₁B₁⊥底面ABC
所以B₁O⊥平面ABC，-----------------------（6分）
所以∠B₁BC就是侧棱BB₁与底面ABC所成的角，即∠B₁BC=60°--（7分）
又AB=AC，所以BC⊥AO，
如图，以O为原点，BC所在直线为X轴，OA为y轴建立空间直角坐标系
则B(?1，0，0)，C(1，0，0)，A(0，

3

，0)，B1(0，0，

3

)∵

BB1

＝

CC1

∴C1(2，0

3

)，----（8分）

BA

＝(1，

3

，0)，

BC1

＝(3，0，

3

)，
设平面ABC₁的法向量为

n

＝(x，y，z)
则

BA ? n ＝0 BC1 ? n ＝0

?

x+ 3 y＝0 3x+ 3 z＝0

，
令x＝

3

，则y=-1，x=-3，所以

n

＝(

3

，?1，?3)---（10分）
又平面ABC的法向量为（0，0，1），设平面使得平面ABC₁与底面ABC的所成角为α
所以cosα＝|cos＜

n1

，

n2

＞|＝

3

13

＞cos60°＝

1

2

，
又y=cosx在[0，

π

2

]上单调递减，
所以在CC₁上不存在点P，使得平面ABP与底面ABC的所成角为60°-------（12分）