Question

已知函数f（x）=（ax2-2ax+2）ex，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=2．①求y=f（x）在点M（

已知函数f（x）=（ax2-2ax+2）ex，其中a＞0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a=2．①求y=f（x）在点M（0，f（0））处的切线方程；②若y=f（x）的图象在区间[-2，2]上与直线y=m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=（ax²-2a+2）e^x=a(x2?2+

2

a

)ex．
当0＜a＜1时，

2

a

?2＞0，∴f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
当a=1时，f′（x）=（x+1）（x-1）e^x，当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，f（x）在区间（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在此区间上单调递减．
当1＜a时，2?

2

a

＞0，f′（x）=a(x+

2? 2 a

)(x?

2? 2 a

)ex，
令f′（x）＞0，解得x＞

2? 2 a

或x＜?

2? 2 a

，f（x）在(?∞，?

2? 2 a

)，(

2? 2 a

，+∞)上单调递增；
令f′（x）＜0，解得

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