Question

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内有二阶导数．如果f（a）=f（b）且存在c∈（a，b）使得

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，在区间（a，b）内有二阶导数．如果f（a）=f（b）且存在c∈（a，b）使得f（c）＞f（a），证明在（a，b）内至少有一点ξ，使得f″（ξ）＜0．

Answer 1

由闭区间上连续函数的最值性质可得，
f（x）在[a，b]上可以取得最大值．
又因为f（a）=f（b）且存在c∈（a，b）使得f（c）＞f（a），
故f（x）在（a，b）内某一点η取得最大值，
从而η必为f（x）的一个极值点，f′（η）=0．
取x∈（a，b），满足f（x）＜f（η），利用泰勒公式可得，
f（x）=f（η）+f′（η）（x-η）+

f″(ξ)

2

(x?η)2=f（η）+

f″(ξ)

2

(x?η)2，
其中ξ在x与η之间．
因为f（x）＜f（η），
所以f″（ξ）＜0．