Question

（2011?广元）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．（1

（2011?广元）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）求证：DE⊥EF．

Answer 1

证明：（1）∵F为BC的中点， ∴BF=CF= BC， ∵BC=2AD， 即AD= BC， ∴AD=CF， ∵AD∥BC， ∴四边形AFCD是平行四边形， ∵BC⊥CD， ∴∠C=90°， ∴?AFCD是矩形； [来源:Zxxk.Com] （2）∵四边形AFCD是矩形， ∴∠AFB=∠FAD=90°， ∵∠B=60°， ∴∠BAF=30°， ∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°， ∵E是AB的中点， ∴BE=AE=EF= AB， ∴△BEF是等边三角形， ∴∠BEF=60°，BE=BF=AE， ∵AD=BF， ∴AE=AD， ∴∠AED=∠ADE= =30°， ∴∠DEF=180°﹣∠AED﹣∠BF=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴DE⊥EF．

略