Question

如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物

如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

Answer 1

解：（1）由题知：

a+b+3＝0 9a?3b+3＝0

，
解得：

a＝?1 b＝?2

故所求抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）存在符合条件的点F．
∵抛物线解析式为：y=-x²-2x+3，
∴C（0，3）．
设直线AC的解析式是y=kx+b（k≠0），
把点A、C的坐标代入，得

0＝k+b 3＝b

，
解得，

k＝?3 b＝3

，
∴直线AC的解析式是y=-3x+3．
则设F（x，-3x+3）．
①当FD=FO时，点F是线段OD垂直平分线与直线AC的交点．
∵点D的坐标为（-2，0），
∴点F的横坐标是-1，则y=-3×（-1）+3=6，即F