Question

已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF

已知：AD既是△ABC的角平分线又是BC边上的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF．

Answer 1

证明：方法一：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在△AED和△AFD中，
∵

∠BAD＝∠CAD ∠AED＝∠AFD＝90° AD＝AD

，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD＝CD DE＝DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．

方法二：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，
∵AD是BC边的中线，
∴BD=CD，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，

BD＝CD DE＝DF

，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴BE=CF．