Question

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形

如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长。小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题。请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；（2）设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值。

Answer 1

解：（1）证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF， ∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°， ∴∠EAF=90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， 又∵AE=AD，AF=AD， ∴AE=AF， ∴四边形AEGF是正方形； （2）设AD=x，则AE=EG=GF=x， ∵BD=2，DC=3， ∴BE=2，CF=3， ∴BG=x-2，CG=x-3， 在Rt△BGC中，BG 2 +CG 2 =BC 2 ， ∴（x-2） 2 +（x-3） 2 =5 2 ， 化简得，x 2 -5x-6=0， 解得x 1 =6，x 2 =-1（舍）， 所以AD=x=6。