给定抛物线C:y 2 =4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求

给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求OA与OB夹角的大小;(Ⅱ)设FB=λAF,若λ∈[4,9],求l在y... 给定抛物线C:y 2 =4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.(Ⅰ)设l的斜率为1,求 OA 与 OB 夹角的大小;(Ⅱ)设 FB = λ AF ,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围. 展开
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儍缺富记2
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(I)C的焦点为F(1,0),直线l的斜率为1,所以l的方程为y=x-1.
将y=x-1代入方程y 2 =4x,并整理得x 2 -6x+1=0.
设A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),则有x 1 +x 2 =6,x 1 x 2 =1,
OA
?
OB
=(x 1 ,y 1 )?(x 2 ,y 2 )=x 1 x 2 +y 1 y 2 =2x 1 x 2 -(搜碰耐x 1 +x 2 )+1=-3. |
OA
|?|
OB
|=
x 21
+
y 21
?
x 22
+
y 22
=
x 1 x 2 [ x 1 x 2 +4( x 1 + x 2 )+16]
=
41

cos<
OA
OB
>=
OA
?
OB
|
OA
|?|
OB
|
=-
3
41
41
.

所以
OA
OB
夹角的大小为π-arccos
3
41
41

(II)由题设知
FB
AF
得:(x 2 -1,y 2 )=λ(1-x 1 ,-y 1 ),即
x 2 -1=λ(1- x 1 )(1)
y 2 =-λ y 1 (2)

由(2)得y 2 2 2 y 1 2 ,∵y 1 2 =4x 1 ,y 2 2 =4x 2 ,∴x 2 2 x 1 (3)
联立(1)(3)世春解得x 2 =λ.依题意有λ>0.
∴B(λ,2
λ
)或B(λ,-2
λ
),又F(1,0),
得直线l的方程为(λ-1)y=2
λ
(x-1)或(吵磨λ-1)y=-2
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