Question

已知函数f(x)＝2x－ ，x∈(0，1]．(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上

已知函数f(x)＝2x－ ，x∈(0，1]．(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）[2 ，＋∞)（2）(－∞，－2]

(1)当a＝－1时，f(x)＝2x＋ ， 因为0<x≤1，所以f(x)＝2x＋ ≥2 ＝2 ，当且仅当x＝ 时，等号成立， 所以函数y＝f(x)的值域是[2 ，＋∞)． (2)(解法1)设0<x 1 <x 2 ≤1， 由f(x 1 )－f(x 2 )＝ ＝2(x 1 －x 2 )＋ ＝ ， 因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数， 所以f(x 1 )－f(x 2 )>0恒成立， 所以2x 1 x 2 ＋a<0，即a<－2x 1 x 2 在x∈(0，1]上恒成立， 所以a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]． (解法2)由f(x)＝2x－ ，知f′(x)＝2＋ ， 因为函数y＝f(x)在x∈(0，1]上是减函数， 所以f′(x)＝2＋ ≤0在x∈(0，1]上恒成立， 即a≤－2x 2 在x∈(0，1]上恒成立， 所以a≤－2，即实数a的取值范围是(－∞，－2]．