如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两...
如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动，当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：（1）证明：△FMN∽△QWP；（2）试问x（0≤x≤4）为何值时，△PQW为直角三角形？（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．（4）问当x为何值时，半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N相切？
展开
展开全部
（1）∵点P、M、Q是△FMN三边的中点，
∴PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF，同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；
（2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=
；
②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或
时，△QWP为直角三角形；
（3）
①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，
只有当x=4时，MN的值最小，等于2；
②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2=2（x-5）2+2
当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值
，故当x=5时，线段MN最短，MN=
．
（4）当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N外切时，（4-x）2+（6-x）2=（x+1）2解得：x1=11-
，x2=11+
（舍去），
当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N内切时，（x-4）2+（6-x）2=（x-1）2解得：x1=9-
，x2=9+
（舍去），
综上：当x=11?
∴PQ∥FN，PW∥MN，
∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，
∴∠QPW=∠MNF，同理∠PQW=∠NFM，
∴△FMN∽△QWP；
（2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形．
作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD-DF=4，GN=GB-BN=4-x，DM=x，
①当MF⊥FN时，
∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，
∴∠DFM=∠GFN．
∵∠D=∠FGN=90°，
∴△DFM∽△GFN，
∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，
∴GN=2DM，
∴4-x=2x，
∴x=
| 4 |
| 3 |
②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，
∴x=AD=GB=4．
∴当x=4或
| 4 |
| 3 |
（3）
①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，
只有当x=4时，MN的值最小，等于2；
②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x-4）2+（6-x）2=2（x-5）2+2
当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值
| 2 |
| 2 |
（4）当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N外切时，（4-x）2+（6-x）2=（x+1）2解得：x1=11-
| 70 |
| 70 |
当半径为1的⊙M与半径为NB的⊙N内切时，（x-4）2+（6-x）2=（x-1）2解得：x1=9-
| 30 |
| 30 |
综上：当x=11?
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
为你推荐：下载百度知道APP，抢鲜体验
使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。
扫描二维码下载
×
类别
我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交
取消
|
