Question

（2013?安阳一模）如图，在?ABCD中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm/s

（2013?安阳一模）如图，在?ABCD中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA运动；动点Q同时从点O出发，以a cm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点，另一点也随着停止运动．设运动时间为t（1）填空：点C的坐标是______，对角线OB的长度是______cm．（2）当a=1时，设△OPQ面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的最大值？（3）设线段PQ与对角线OB交于一点M，当a=57，t=7时，以O、M、P为顶点的三角形是否与△OAB相似？请说明理由．

Answer 1

（1）过C作CH⊥x轴于H，过B作BR⊥x轴于R，如图1，

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=8cm，BC∥OA，
∵∠AOC=60°，OC=4cm，
∴∠OCH=30°，CH=OC?sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
∴OH=

1

2

OC=2cm，
即AR=OH=3cm，BR=CH=2

3

cm
∴C的坐标是（2，2

3

），
在Rt△ORB中，BR=2

3

cm，OR=8+2=10（cm），由勾股定理得：OB=4

7

（2）①当0＜t≤4时，如图2，

∵∠AOC=60°，a=1，
∴OP=OQ，
过点Q作QD⊥x轴于点D，
∵OQ=t，∠QOD=60°，
则QD=

3

2

t，
∴S=

1

2