Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点．（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=1，CC1=2，点D是AA1的中点．（1）证明：平面BC1D⊥平面BCD；（2）求CD与平面BC1D所成角的正切值．

Answer 1

（1）证明：∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，∴面ABC⊥面ACC₁A₁
由于AC⊥BC，AC=面ABC∩面ACC₁A₁，∴BC⊥面ACC₁A₁，∴BC⊥C₁D
又∵在矩形ACC₁A₁中，AA₁=2AC，点D是AA₁的中点，∴CD⊥C₁D．
∵CD∩BC=C，
∴C₁D⊥面BCD
∵C₁D?面BC₁D，
∴面BCD⊥面BC₁D--------（7分）
（2）解：过点C作CH⊥BD交BD于H，

∵平面BC₁D⊥平面BCD，面BC₁D∩面BCD=BD，∴CH⊥面BC₁D．
∴∠CDH就是CD与平面BC₁D所成角．--（11分）
在△CDC₁中，BC=1，CD=

2

，
∴tan∠CDH＝

1

2

＝

2

2

．-------------（14分）