Question

如图1，已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，点D在AC上，直线BD交AE于

如图1，已知△ABC与△DCE都是等腰直角三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，点D在AC上，直线BD交AE于点F．（1）请补充完整证明“BD=AE，BF⊥AE”的推理过程；证明：在△ACE与△BCD中∵（______）∴△ACE≌△BCD（SAS）∴BD=AE，∠CAE=∠CBD（全等三角形的对应角相等）∵∠ACE=90°∴∠CAE+∠AEC=90°（______）∴∠CBD+∠AEC=90°（等量代换）∴______∴BF⊥AE（垂直的定义）（2）将△DCE绕着点C旋转，在旋转过程中保持△DCE的大小与形状均不变，那么，当△DCE旋转至图2的位置时，（1）中的结论是否仍然成立？为什么？

Answer 1

（1）证明：∵在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AEC=90°（直角三角形的两锐角互余），
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE，
故答案为：AC=BC，∠DCB=∠ECA，CE=CD，直角三角形的两锐角互余，∠BFE=90°．

（2）解：（1）中的结论还成立，
理由是：∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCE=∠DCE+∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD，
∵∠ACE=90°，
∴∠CAE+∠AHC=90°，
∵∠AHC=∠BHF，∠HBF=∠CAH，
∴∠BHF+∠HBF=90°
∴∠BFE=90°，
∴BF⊥AE．