Question

已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方

已知圆 O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为______．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），又P（1，1），
则x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y+1，

PA

＝(x1?1，y1?1)，

PB

＝(x2?1，y2?1)．
由PA⊥PB，得

PA

?

PB

＝0，即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-1）（y₂-1）=0．
整理得：x₁x₂+y₁y₂-（x₁+x₂）-（y₁+y₂）+2=0，
即x₁x₂+y₁y₂=x+1+y+1-2=x+y     ①
又∵点A、B在圆上，∴x12+y12＝x22+y22＝4    ②
再由|AB|=|PQ|，得(x1?x2)2+(y1?y2)2＝(x?1)2+(y?1)2，
整理得：x12+x22+y12+y22?2x1x2?2y1y2=（x-1）²+（y-1）²  ③
把①②代入③得：x²+y²=6．
∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x²+y²=6．
故答案为：x²+y²=6．