Question

等腰梯形ABCD中，AD//BC,AD=3,BC=7,∠B=60°,P为BC边上一点（不与B,C重合

)，过点P做∠APE=∠B,PE交CD与E,
(1)求证：△APB∽△PEC;
(2)若CE=3,求：BP的长,

Answer 1

分析：（1）由等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，可得∠B=∠C=60°，又由∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，∠APE=∠B，可证得∠BAP=∠EPC，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得：△APB∽△PEC；
（2）首先过点A作AF∥CD交BC于点F，则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，又由△APB∽△PEC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APC=∠B+∠BAP，
即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∵∠APE=∠B，
∴∠BAP=∠EPC，
∴△APB∽△PEC；

（2）解：过点A作AF∥CD交BC于点F，
则四边形ADCF是平行四边形，△ABF为等边三角形，
∴CF=AD=3，AB=BF=7-3=4，

∵△APB∽△PEC，

∴BP/EC=AB/PC，

设BP=x，则PC=7-x，
∵EC=3，AB=4，

∴x/3=4/(7-x)

解得：x1=3，x2=4，
经检验：x1=3，x2=4是原分式方程的解，
∴BP的长为：3或4．

Answer 2

1、∵ABCD是等腰梯形
∴∠B=∠C=60°
∵∠BPA+∠BAP=180°-∠B=120°
∠BPA+∠CPE=180°-∠APE=180°-60°=120°
∴∠BAP=∠CPE
∴△APB∽△PEC
2、做AM⊥BC于M，DN⊥BC于N
那么AMND是矩形，
∴MN=AD=3，BM+CN=BC-AD=4
∵AB=CD，AM=DN，
∴RT△ABM≌RT△DCN(HL)
∴BM=CN=2 (和是4）
∵∠B=60°，那么∠BAM=30°
∴RT△ABM中：AB=2BM=4
∵△APB∽△PEC
AB/PC=BP/CE
AB/(BC-BP)=BP/CE
4/(7-BP)=BP/3
7BP-BP平方=12
bp平方-7BP+12=0
(BP-3)(BP-4)=0
BP=3
BP=4