Question

下列命题中，真命题是（　　）A．?x∈R，使得sinx+cosx=2B．?x∈（0，π），有sinx＞cosxC．?x∈R，使得x

下列命题中，真命题是（　　）A．?x∈R，使得sinx+cosx=2B．?x∈（0，π），有sinx＞cosxC．?x∈R，使得x2+x=-2D．?x∈（0，+∞），有ex＞1+x

Answer 1

∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[?

2

，

2

]，2?[?

2

，

2

]，故A“?x∈R，使得sinx+cosx=2”不正确；
当x=

π

6

时，sinx＜cosx，故B“?x∈（0，π），有sinx＞cosx”，不正确；
∵方程x²+x=-2无解，故C“?x∈R，使得x²+x=-2”，不正确；
令f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0恒成立，即f（x）=e^x-x-1在区间（0，+∞）上为增函数，
又∵f（0）=e^x-x-1=0，∴D“?x∈（0，+∞），有e^x＞1+x”正确；
故选D