Question

下列命题中，真命题是（　　） A．?x∈R，使得sinx+cosx=1.5 B． ?x∈(0， π 2 ) ，使得

下列命题中，真命题是（　　） A．?x∈R，使得sinx+cosx=1.5 B． ?x∈(0， π 2 ) ，使得sinx＞cosx C．?x∈R，使得x 2 +x=-1 D．?x∈（0，+∞），使得e x ＞1+x

Answer 1

∵sinx+cosx= 2 sin（x+ π 4 ）∈[- 2 ， 2 ]，而1.5＞ 2 ，故A错误； 当x∈（0， π 4 ]时，sinx≤cosx，故B错误； 当x 2 +x=-1时，x 2 +x+1=0，但其△=1-4=-3＜0．故C不正确； 对于D：设f（x）=e x -x-1，则f′（x）=e x -1， ∴当x=0时，f′（x）=0，f（x）=0． 当x＞0时，f′（x）＞0， ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴f（x）＞f（0）=0． ∴对x∈（0，+∞），都有f（x）＞0， ∴e x ＞x+1．故D正确； 故选D．