Question

下列命题中，真命题是（　　）A．?x∈R，sinx+cosx=1.5B．?x∈（0，+∞），ex＞x+1C．?x∈R，x2+x=-1D

下列命题中，真命题是（　　）A．?x∈R，sinx+cosx=1.5B．?x∈（0，+∞），ex＞x+1C．?x∈R，x2+x=-1D．?x∈（0，π），sinx＞cosx

Answer 1

∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]
∴A“?x∈R，sinx+cosx=1.5”为假命题；
∵当x∈（0，+∞）时，函数y=e^x-x+1的导函数
y′=e^x-1＞0，故函数y=e^x-x+1在区间（0，+∞）上单调递增
∴y=e^x-x+1＞y|_x=0=2
即e^x＞x+1恒成立，故B“?x∈（0，+∞），e^x＞x+1”恒成立；
∵x²+x=（x+

1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

∴C“?x∈R，x²+x=-1”为假命题；
∵当x∈（0，

π

4

），sinx＜cosx
∴D“?x∈（0，π），sinx＞cosx”为假命题；
故选B