Question

已知各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an

已知各项均为正数的等比数列{an}的首项为a1=2，且4a1是2a2，a3的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若bn=anlog2an，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}为等比数列，a₁=2，
∴a₂=a₁q=2q，a₃=a₁q²=2q²
∵4a₁是2a₂，a₃，的等差中项，∴8a₁=2a₂+a₃，即，16=2或=4q+2q²
解得，q=2或q=-4
∵数列{a_n}各项均为正数，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ
（Ⅱ）把a_n=2ⁿ代入b_n=a_nlog₂a_n，得，b_n=2ⁿlog₂2ⁿ=n2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ      ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n2ⁿ⁺¹    ②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1?2n)

1?2

-n2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n2ⁿ⁺¹
∴S_n=-2ⁿ⁺¹+2+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2