Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的

如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．（1）求证：△BEF∽△CEG；（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？

Answer 1

解答：（1）证明：∵AB∥GD，
∴∠B=∠GCE，
又∵∠BEF=∠GEC，
∴△BEF∽△CEG．

（2）解：由（1）DG为△DEF中EF边上的高，
在Rt△BFE中，∠B=60°，EF=BEsinB=

3

2

x，（4分）
在Rt△CEG中，CE=3-x，CG=（3-x）cos60°=

3?x

2

，
∴DG=DC+CG=

11?x

2

，（5分）
∴S=

1

2

EF?DG=-

3

8

x²+

11 3

8

x，（6分）
其中0＜x≤3．（7分）

（3）解：∵a=-

3

8

＜0，对称轴x=

11

2

，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
∴当x=3，即E与C重合时，S有最大值．（9分）
S_最大=3

3

．（10分）