Question

如图，平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合）

作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；
（3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？
跪求。速度。谢

Answer 1

（1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴EF⊥DG．
∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，
∴△BEF∽△CEG；
（2）由（1）DG为△DEF中EF边上的高，
设BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，
EF=BEsinB= √3／2x．
在Rt△CEG中， CE=3-x，
GC=(3-x)cos60°=3-x／2，
∴ DG=DC+GC=11-x／2，
∴ S=1／2EF•DG=-√3／8x²+11√3／8x（0＜x≤3）；
（3）∵ a=-√3／8＜0，对称轴 x=11／2＞3，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
当x=3时，即E与C重合时，
Smax=3√3．

Answer 2

解：在平行四边形ABCD中，作高DH,则
FG=BC*sin(180°-120°)=3*√3/2=3√3/2
DH=AB*sin(180°-120°)=4*√3/2=2√3
平行四边形ABCD的面积：BC*DH=3*2√3=6√3
EF=BE*sin60°=√3x/2,BF=BE*cos60°=x/2
S₁=(1/2)*BF*EF=(1/2)*(x/2)*(√3x/2)
...=√3x/8
S₂=(1/2)*EC*DH=(1/2)*(3-x)*2√3
...=3√3-√3x
S₃=(1/2)*AF*FG=(1/2)*(4-x/2)*3√3/2
...=3√3-√3x/8
∴S=6√3-S1-S2-S3
....=5√3x/4
当E运动到G处,S有最大值，x=3时
最大值为15√3x/4。

Answer 3

解：在平行四边形ABCD中，作高DH,则
FG=BC*sin(180°-120°)=3*√3/2=3√3/2
DH=AB*sin(180°-120°)=4*√3/2=2√3
平行四边形ABCD的面积：BC*DH=3*2√3=6√3
EF=BE*sin60°=√3x/2,BF=BE*cos60°=x/2
S₁=(1/2)*BF*EF=(1/2)*(x/2)*(√3x/2)
...=√3x/8
S₂=(1/2)*EC*DH=(1/2)*(3-x)*2√3
...=3√3-√3x
S₃=(1/2)*AF*FG=(1/2)*(4-x/2)*3√3/2
...=3√3-√3x/8
∴S=6√3-S1-S2-S3
....=5√3x/4
当E运动到G处,S有最大值，x=3时
最大值为15√3x/4。

Answer 4

1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴EF⊥DG．
∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，
∴△BEF∽△CEG；
（2）由（1）DG为△DEF中EF边上的高，
设BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，
EF=BEsinB= √3／2x．
在Rt△CEG中， CE=3-x，
GC=(3-x)cos60°=3-x／2，
∴ DG=DC+GC=11-x／2，
∴ S=1／2EF•DG=-√3／8x²+11√3／8x（0＜x≤3）；
（3）∵ a=-√3／8＜0，对称轴 x=11／2＞3，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
当x=3时，即E与C重合时，
Smax=3√3．

Answer 5

（1）证明：∵EF⊥AB，AB∥DC，
∴EF⊥DG．
∴∠BFG=∠G=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，
∴△BEF∽△CEG；
（2）由（1）DG为△DEF中EF边上的高，
设BE=x，
在Rt△BFE中，∠B=60°，
EF=BEsinB= √3／2x．
在Rt△CEG中， CE=3-x，
GC=(3-x)cos60°=3-x／2，
∴ DG=DC+GC=11-x／2，
∴ S=1／2EF•DG=-√3／8x²+11√3／8x（0＜x≤3）；
（3）∵ a=-√3／8＜0，对称轴 x=11／2＞3，
∴当0＜x≤3时，S随x的增大而增大，
当x=3时，即E与C重合时，
Smax=3√3．