Question

如图，点P为正方形内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数

如图，点P为正方形内一点，若PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数．

Answer 1

设PA=1，则PB=2，PC=3，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△BEA，如图，
∴BE=BP=2，EA=PC=3，∠PBE=∠CBA=90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BPE=45°，PE=

2

PB=2

2

，
在△APE中，PA=1，PE=2

2

，AE=3，
∵1²+（2

2

）²=3²，
∴PA²+PE²=AE²，
∴△AEP为直角三角形，∠APE=90°，
∴∠APB=∠APE+∠BPE=90°+45°=135°．

Answer 2

解：将△pbc绕b点逆时针旋转90°至bc与ab重合，得到一个新的△aqb，可知：bq=pb=2，qa=pc=3，∠abq=∠pbc，
由于∠pbc+∠abp=90°，所以∠pbq=∠abq+∠abp=∠pbc+∠abp=90°，则△pbq是一个等腰直角三角形，
故：∠bpq=45°，
由勾股定理，得:pq^2=pb^2+bq^2=2^2+2^2=8，
另外，在△apq中，pa^2+pq^2=1^2+8=9=qa^2，由勾股定理知：△apq是一个以∠apq为直角的直角三角形，即∠apq=90°。
综上得：∠apb=∠apq+∠bpq=90°+45°=135°