Question

多元函数微分学习题 求点M0（x0y0z0）到平面Ax+By+Cz+D=0的距离

一定要用多元函数微分学解答，高中知识我也懂，这是高数题！！！！！！！！！！

Answer 1

用
求条件极值

：L^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2
约束条件：Ax+By+Cz+D=0
F=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2+λ(Ax+By+Cz+D)
2(x-x0)+λA=0 ①
2(y-y0)+λB=0 ②
2(z-z0)+λC=0 ③
Ax+By+Cz+D=0 ④
①②移项相除：(x-x0)/(y-y0)=A/B x=A(y-y0)/B+x0
②③移项相除：(y-y0)/(z-z0)=B/C z=C(y-y0)/B+z0
代入④：A^2(y-y0)/B+Ax0+By+C^2(y-y0)/B+Cz0+D=0
(A^2+C^2)(y-y0)/B+By-By0+Ax0+By0+Cz0+D=0
(A^2+B^2+C^2)(y-y0)/B+Ax0+By0+Cz0+D=0
(y-y0)=-(Ax0+By0+Cz0+D)*B/(A^2+B^2+C^2)
x=x0-(Ax0+By0+Cz0+D)*A/(A^2+B^2+C^2)
y=y0-(Ax0+By0+Cz0+D)*B/(A^2+B^2+C^2)
z=z0-(Ax0+By0+Cz0+D)*C/(A^2+B^2+C^2)
L^2=(Ax0+By0+Cz0+D)^2/(A^2+B^2+C^2)^2(A^2+B^2+C^2)
∴L=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)

Answer 2

用拉格朗日乘数法求条件极值
目标函数：L^2=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2
约束条件：Ax+By+Cz+D=0
F=(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2+λ(Ax+By+Cz+D)
2(x-x0)+λA=0 ①
2(y-y0)+λB=0 ②
2(z-z0)+λC=0 ③
Ax+By+Cz+D=0 ④
①②移项相除：(x-x0)/(y-y0)=A/B x=A(y-y0)/B+x0
②③移项相除：(y-y0)/(z-z0)=B/C z=C(y-y0)/B+z0
代入④：A^2(y-y0)/B+Ax0+By+C^2(y-y0)/B+Cz0+D=0
(A^2+C^2)(y-y0)/B+By-By0+Ax0+By0+Cz0+D=0
(A^2+B^2+C^2)(y-y0)/B+Ax0+By0+Cz0+D=0
(y-y0)=-(Ax0+By0+Cz0+D)*B/(A^2+B^2+C^2)
x=x0-(Ax0+By0+Cz0+D)*A/(A^2+B^2+C^2)
y=y0-(Ax0+By0+Cz0+D)*B/(A^2+B^2+C^2)
z=z0-(Ax0+By0+Cz0+D)*C/(A^2+B^2+C^2)
L^2=(Ax0+By0+Cz0+D)^2/(A^2+B^2+C^2)^2(A^2+B^2+C^2)
∴L=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)