Question

如图,四边形ABCD中 AD‖BC,∠A=90°,AB=8,tanC=4/3，BD=CD,

如图,四边形ABCD中 AD‖BC,∠A=90°,AB=8,tanC=4/3，DB=CD，E、F分别是线段BC、BD上的动点（点E与点BC不重合），且∠DEF=∠ADB.设CE=x，DF=y。
⑴求BC和BD的长；
⑵求y与x的函数解析式；
⑶当△DEF为等腰三角形时，求x的值。

Answer 1

(1)作DH⊥BC于H,易知ABHD是矩形，DH=AB=8，
tanC=DH/HC=4/3,
∴HC=6，DB=DC=10，
BC=2HC=12.
(2) 由(1),cosC=3/5,
AD‖BC,
∴∠DEF=∠ADB=∠DBC=∠C,
CE=x,由余弦定理，DE^2=100+x^-12x,
同理，BE=12-x,BF=10-y,
EF^2=(12-x)^2+(10-y)^2-(6/5)(12-x)(10-y),
y^2=DF^2=100+x^-12x+(12-x)^2+(10-y)^2-(6/5)(12-x)(10-y)-(6/5)DE*EF,
∴(6/5)DE*EF=2x^2-36x+344-20y-(6/5)(120-12y-10x+xy),繁！
请检查题目

追问

题目无误，请化简第二问，并解答第三问。

追答

(2) 由(1),cosC=3/5,
AD‖BC,
∴∠DEF=∠ADB=∠DBC=∠BCD,
作CM⊥BD于M,EN⊥BD于N,
CM*BD=DH*BC,CM=8*12/10=9.6，
由勾股定理，DM=2.8，BM=7.2，
CM∥EN,EN/CM=BE/BC,EN=9.6-0.96x,
MN/BM=CE/BC,MN=0.6x,NF=y-0.6x-2.8,
tanDEN=DN/EN,tanFEN=NF/EN,
由和角正切公式得(DN/EN+NF/EN)/(1-DN/EN*NF/EN)=4/3,
∴3EN(DN+NF)=4(EN^2-DN*NF),
∴3(9.6-0.96x)y=4[(9.6-0.96x)^2-(2.8+0.6x)( y-0.6x-2.8)],
(28.8-2.88x+11.2+2.4x)y=4[92.16-18.432x+0.9216x^2+0.36x^2+3.36x+7.84],
(40-0.48x)y=4(1.2816x^2-15.072x+100),
∴y=4(1.2816x^2-15.072x+100)/（40-0.48x）.
(3)△DEF为等腰三角形:
(i)DE=EF,DN=y/2,2.8+0.6x=2(1.2816x^2-15.072x+100)/（40-0.48x）,
∴(1.4+0.3x)(40-0.48x)= 1.2816x^2-15.072x+100,
56+11.328x-0.144x^2=1.2816x^2-15.072x+100,
1.4256x^2-26.4x+44=0,x=2.64/1.4256=50/27.
(ii)DE=DF,
(iii)DF=EF.
剩下部分，留给您练习，可以吗？