Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1,分别取A1C、B1C的中点A2、B2，

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1,分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出1/4 +1/4平方+1/4三次方 +…+1/4的N次方= （详细过程）

Answer 1

S△ABC=1
A1B1//AB,
S△A1B1C∽S△ABC,[AA]
S△A1B1C：S△ABC=(B1C:BC)²=(1:2)²=1/4;
S△A1B1C=(1/4)S△ABC=(1/4)x1=1/4;
同理，S△A2B2C=(1/4)S△A1B1C=(1/4)x(1/4)=1/4²;
....
S△AnBnC=(1/4)S△A(n-1)B(n-1)C=(1/4)x[1/4^(n-1)]=1/4^n;
S△A1B1C+S△A2B2C+...+S△AnBnC=S△ABC
1/4+1/4²+1/4³+...+1/4^n=1.

追问

S△A1B1C+S△A2B2C+...+S△AnBnC=S△ABC 加起来怎么相等。

追答

S△ABC=1
A1B1//AB,
△A1B1C∽△ABC,[AA]
S△A1B1C：S△ABC=(B1C:BC)²=(1:2)²=1/4;
S△A1B1C=(1/4)S△ABC=(1/4)x1=1/4;
S梯形ABB1A=1-1/4=3/4
同理，S△A2B2C=(1/4)S△A1B1C=(1/4)x(1/4)=1/4²;
S梯形A1B1B2A2=1/4-1/4²=3/4²
....
S△AnBnC=(1/4)S△A(n-1)B(n-1)C=(1/4)x[1/4^(n-1)]=1/4^n;
S梯形ABB1A+S梯形A1B1B2A2+...+S△AnBnC=S△ABC
3/4+3/4²+3/4³+...+3/4^n+1/4^n=1
3/4+3/4²+3/4³+...+3/4^n=1-1/4^n
3(1/4+1/4²+1/4³+...+1/4^n)=1-1/4^n
1/4+1/4²+1/4³+...+1/4^n=(1-1/4^n)/3