Question

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项 (1)求数列｛a

已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2,且a3+2是a2,a4的等差中项

(1)求数列｛an｝的通项公式

（2）若bn=anlog2an,sn=b1+b2+…+bn,求Sn

Answer 1

解：
设{an}公比为q
(1)
2a1+a3=3a2，2a1+a1q²=3a1q
q²-3q+2=0，(q-1)(q-2)=0
q=1或q=2
a3+2是a2、a4的等差中项，则2(a3+2)=a2+a4
2a3+4=a2+a4，若q=1，则a2+a4=2a3，等式变为4=0，等式不成立，因此q≠1
q=2
2a1q²+4=a1q+a1q³，q=2代入，整理，得2a1=4
a1=2
an=a1qⁿ⁻¹=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ
(2)
bn=anlog2(an)=2ⁿ·log2(2ⁿ)=n·2ⁿ
Sn=b1+b2+b3+...+bn=1·2+2·2²+3·2³+...+n·2ⁿ
2Sn=1·2²+2·2³+...+(n-1)·2ⁿ+n·2ⁿ⁺¹
Sn-2Sn=-Sn=2+2²+...+2ⁿ-n·2ⁿ⁺¹=2·(2ⁿ-1)/(2-1) -n·2ⁿ⁺¹=(1-n)·2ⁿ⁺¹-2
Sn=(n-1)·2ⁿ⁺¹+2

Answer 2

解：（1）∵a3+2是a2和a4的等差中项，∴2（a3+2）=a2+a4
∵2a1+a3=3a2，∴q=2（q=1舍去），a1=2
∴an=a1qn-1=2n…．（6分）
（2）bn=an+log2an=2n+n．…（7分）
所以Sn=（2+4+…+2n）+（1+2+…+n）=2(1-2n)1-2+n(1+n)2=2n+1-2+12n+12n2 …．（10分）
因为Sn-2n+1-8≤0，所以n2+n-20≤0
解得-5≤n≤4，故所求的n的取值集合为{1，2，3，4}…．（12分）

Answer 3

an=2的n次方