在三角形ABC中,角A=90°,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF
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证明:过A作AG⊥BC于G,AG交BD于M,如图
∵AB=AC ∠BAC=90°
∴ ∠C=∠ABC=45°, ∠CAG=∠BAG=45°(三线合一)
∴∠C=∠BAG
∵AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠CAF+∠BAE=90°
∴∠CAF=∠ABE(等量代换)
又 AC=AB
∴△ACF ≌△BAM(ASA)
∴CF=AM
又∠C=∠DAG =45°, CD=AD
∴△CDF ≌△ADM(SAS)
∴∠CDF=∠ADB
第二种
作CM⊥AC,交AF的延长线于M,
AE⊥BD,可得∠AEB=90°,即∠BAE+∠ABE=90°,
由∠A=90°,可得∠BAE+∠DAE=90°,
∴∠ABE=∠DAE,
CM⊥AC,可得∠ACM=90°=∠A,
又∵AB=AC,可证三角形ABD与三角形CAM全等,
从而可得CM=AD=CD,∠ADB=∠M
由∠A=90°,AB=AC,可得∠ACB=45°,而∠ACM=90°,∠ACB=∠MCB=45°.
再加上CF=CF,可证三角形CDF与三角形CMF全等,
∠M=∠CDF 故∠ADB=∠CDF
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