在三角形ABC中,角A=90°,AB=AC,D为AC的中点,AE⊥BD于E,延长AE交BC于F,求证:∠ADB=∠CDF

ps:要最少两种解法,目前只想起来一种就是过A左三角形ABC的中线,还有别的吗... ps:要最少两种解法,目前只想起来一种就是过A左三角形ABC的中线,还有别的吗 展开
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信震博0fp
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证明:过A作AG⊥BC于G,AG交BD于M,如图

∵AB=AC  ∠BAC=90°
∴ ∠C=∠ABC=45°,   ∠CAG=∠BAG=45°(三线合一) 
∴∠C=∠BAG
∵AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=90°  
∵∠CAF+∠BAE=90°
∴∠CAF=∠ABE(等量代换)
又 AC=AB
∴△ACF ≌△BAM(ASA)
∴CF=AM     
又∠C=∠DAG =45°, CD=AD
∴△CDF ≌△ADM(SAS)
∴∠CDF=∠ADB


第二种

作CM⊥AC,交AF的延长线于M,
AE⊥BD,可得∠AEB=90°,即∠BAE+∠ABE=90°,
由∠A=90°,可得∠BAE+∠DAE=90°,
∴∠ABE=∠DAE,
CM⊥AC,可得∠ACM=90°=∠A,

又∵AB=AC,可证三角形ABD与三角形CAM全等,
从而可得CM=AD=CD,∠ADB=∠M
由∠A=90°,AB=AC,可得∠ACB=45°,而∠ACM=90°,∠ACB=∠MCB=45°.
再加上CF=CF,可证三角形CDF与三角形CMF全等,
∠M=∠CDF 故∠ADB=∠CDF

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