Question

在三角形ABC中，角A=90°，AB=AC，D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB＝∠CDF

ps：要最少两种解法，目前只想起来一种就是过A左三角形ABC的中线，还有别的吗

Answer 1

证明：过A作AG⊥BC于G,AG交BD于M,如图

∵AB=AC  ∠BAC=90°
∴ ∠C=∠ABC=45°,   ∠CAG=∠BAG=45°（三线合一） 
∴∠C=∠BAG
∵AE⊥BD
∴∠ABE+∠BAE=90°  
∵∠CAF+∠BAE=90°
∴∠CAF=∠ABE（等量代换）
又 AC=AB
∴△ACF ≌△BAM（ASA）
∴CF=AM     
又∠C=∠DAG =45°, CD=AD
∴△CDF ≌△ADM(SAS)
∴∠CDF=∠ADB

第二种

作CM⊥AC,交AF的延长线于M,
AE⊥BD,可得∠AEB=90°,即∠BAE+∠ABE=90°,
由∠A=90°,可得∠BAE+∠DAE=90°,
∴∠ABE=∠DAE,
CM⊥AC,可得∠ACM=90°＝∠A,

又∵AB=AC,可证三角形ABD与三角形CAM全等,
从而可得CM=AD=CD,∠ADB=∠M
由∠A=90°,AB=AC,可得∠ACB=45°,而∠ACM=90°,∠ACB=∠MCB=45°.
再加上CF=CF,可证三角形CDF与三角形CMF全等,
∠M=∠CDF 故∠ADB=∠CDF