Question

设关于x的函数y=2cosx^2-2acosx-(2a-1)的最小值为f(x).

1.试用a写出f(a)的表达式。
2.试确定f(a)=1/2的值，并由此时的a求出y的最大值。
要详细过程，谢谢！

Answer 1

解：
1、设cosx=t 则 -1≤t≤1
原式=2t^2-2at-(2a+1)
=2[t^2-at+(a^2)/4]-(a^2/2)-2a-1
=2(t-a/2)^2-(a^2/2)-2a-1
∴f(a)={ 1 a＜-2
-a^2/2-2a-1 -2≤a≤2
-4a+1 a＞2
2、
①令-a^2/2-2a-1=1/2
变形得(a+2)^2=1 a=-1或-3 因为a在[-2,2]内
得a=-1

此时y=2cosx^2+2cosx+3
得 y=2(cosx+1/2)^2+5/2
得 y max=7.

②令-4a+1=1/2
解得a=1/8 不在（2，+∞）区间内，舍去。

Answer 2

1.令z=cosa
-1<=z<=1
y=2z^2-2az-(2a+1)
=2[z^2-az+(a^2)/4]-(a^2/2)-2a-1
=2(z-a/2)^2-(a^2/2)-2a-1
1)a/2<=-1时 z=-1最小
f(a)=2(1+a/2)^2-(a^2/2)-2a-1=1
2)-1<=a/2<=1时 z=a/2 最小
f(a)=-a^2/2-2a-1
3)a/2>=1时 z=1最小
f(a)=2(1-a/2)^2-(a^2/2)-2a-1
=1-4a
2.-1<=a/2<=1时
f(a)=-a^2/2-2a-1=1/2
a=-1
a/2>=1时
f(a)=1-4a=1/2
a=1/8舍去
综上
a=-1
解得
y(max)=7/2

Answer 3

1.利用配方法即可解出答案：
解：设cosx=z
原式=2z^2-2az-(2a+1)
=2[z^2-az+(a^2)/4]-(a^2/2)-2a-1
=2(z-a/2)^2-(a^2/2)-2a-1
∴f(a)=-a^2/2-2a-1

2.a=-1,y(max)=7/2

解：y=2(cosx-a/2)^2-(3/2)a-1 （*）
f(a)=-(3/2)a-1=1/2
a=-1,代入*试满足条件Δ〉0。

y(max)=2(cosx+0.5)^2+0.5=2(1+0.5)^2+0.5=7/2(这步是通过画出函数曲线，比较大小得出来的。）

解释：（cosx-a/2)^2表示(cosx-a/2)的平方

Answer 4

1.利用配方法即可解出答案：
解：设cosx=z
原式=2z^2-2az-(2a+1)
=2[z^2-az+(a^2)/4]-(a^2/2)-2a-1
=2(z-a/2)^2-(a^2/2)-2a-1
∴f(a)=-a^2/2-2a-1
2.带入得a=-1