Question

复数1开n次方，所有根的和是多少。怎么算？

Answer 1

和是0 啊，你画一个单位圆，所有的根向量，终点都位于圆上，并且相差相等的角度
这些向量的和是0.

追问

给个过程吧

怎么推导的

追答

这样呗，用欧拉公式展开
所有的根
r1 = cos2π/n + sin2π/n*i = e^2πi/n
r2 = cos4π/n + sin4π/n*i = e^4πi/n
...

rn = cos2π + sin2πi
这是个等比数列，公比q是 e^i2π/n
用等比数列求和公式就能求出来了
= a1(1 - q^n)/(1-q)
q^n = e^i2π/n的n次方= e^i2π = cos2π+sin2π = 1
所以分母是0
所以整个数列的和是0.

Answer 2

应该是分子是零而不是分母，可能你没注意看吧。

Answer 3

是i=√-1吧

追问

不是。数字1

追答

根据欧拉公式，复数z=r(cosθ+isinθ)
=re^(iθ)，
在复数域内，任意复数的n次方跟共有n个，
故1可表示为e^(2πki)，
k=1,2,3,…,(n-1).
故1的N个根满足通式:e^(2πki/n)，展开为q=e^(2πi/n)的等比数列.
故1的n个根的和为:
(1-q^n)/(1-q).
而分子1-q^n=1-e^(2πi)=1-1=0，得证.
(e为自然对数的底:2.73……，i=√-1)