Question

高数：高斯公式求曲面积分的问题

下图中 第4题的解法二中，为什么要做两个辅助曲面才能用高斯公式？

题中解法二为什么不直接用高斯公式？ 下面是高斯公式适用的条件：

对于整个球体而言，我觉得也是适用高斯公式的啊。
但是在对整个球积分时，结果是0 ；
我对比了一下错误的原因，对整个球积分时，投影面是xOy面上的一个圆，所以在xOy面上积分时，会出现一个∫sin2θ，上下限是2π和0，结果就成了0；如果按照方法二给出的步骤，投影面是xOy面上的一个1/4的圆，也就是第一卦限中的投影面，最后会出现一个∫sin2θ，上下限是π/2 和0，结果是2/15 ,所以，这个地方为什么对整个球积分就不行呢?

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Answer 1

　　因为高斯公式就是为了求解闭合的曲面，因此应该分开来对各个面进行投影求积分。

追问

那么，整个球是不是一个闭合的曲面呢？应该是的吧？此题如果是对整个球应用高斯公式，而不使用辅助面，可否？为什么我求出的结果是0，到底那个地方错了？请指教。

追答

　　你的那个题目中的不是整个球体，而只是球体的一部分，对于其投影不是圆。你再好好看看课本上的讲解吧。而且题目中是对三个面xoy、xoz、yoz做的投影，对其运用高斯公式对其求积分的。