Question

证明：若存在一个偶数a和一个奇数b使得f(a)和f(b)为奇数,则f(x)无整数根

f（x）为整系数多项式

Answer 1

对于任意的x,如果x为奇数，

则a1x与a1b同奇偶，a2x^2与a2b^2同奇偶,…,anx^n与anb^n同奇偶，所以f(x)与f（b）奇偶性相同，为奇数，不可能为0

若x为偶数，由f（a）为奇数可知a0为奇数，此时f(x)为奇数，不可能为0

综上，f无整数根

Answer 2

用反证法。假设整数m为其一根。则有（x-m）h（x）=f（x），由于f（x）是整系数多项式，根据整系数多项式相关定理，易得h（x）也是整系数多项式。若要f（x）为奇数，则（x-m）与h（x）都要为奇数。那么，若f（a）、f（b）都是奇数，则（a-m）、（b-m）都是奇数。而a是偶数，所以m是奇数，b是奇数，又要m为偶数。m既奇又偶，所以m不存在。所以由题f（x）无整数根。

Answer 3

证明：若存在一个偶数和一个奇数使得和为奇数，则无整数根