Question

【高数微分中值定理】

Answer 1

简单分析一下，详情如图所示

Answer 2

构造函数

g(0)=g(pi/2)=0,用罗尔定理即可

Answer 3

令f(x)=a1sinx+a2sin3x/3+a3sin5x/5+...+ansin(2n-1)x/(2n-1)
f'(x)=a1cosx+a2cos3x+a3cos5x+...+ancos(2n-1)x
因为f(x)在[0,π/2]上连续，在(0,π/2)上可导，所以根据拉格朗日中值定理，在(0,π/2)中至少存在一点k，使得：f'(k)*(π/2-0)=f(π/2)-f(0)
a1cosk+a2cos3k+a3cos5k+...+ancos(2n-1)k=[a1-a2/3+a3/5+...+(-1)^(n-1)*an/(2n-1)]-0
=0
即方程a1cosx+a2cos3x+a3cos5x+...+ancos(2n-1)x=0在(0,π/2)中至少存在一个实根