Question

∫（-x²-2）/(x²+x+1)²dx等于多少

Answer 1

设t=x+1/2，则x^2+x+1=t^2+3/4

-x^2-2=-(t-1/2)^2-2=-t^2+t-9/4

原式=∫[-1/(t^2+3/4)+(t-3/2)/(t^2+3/4)^2]dt

=(-2/√3)arctan(2t/√3)-1/[2(t^2+3/4)]-(3/2){2t/[3(t^2+3/4)]+4/(3√3)*arctan(2t/√3)}+c

=(-4/√3)arctan(2t/√3)-(1+2t)/[2(t^2+3/4)]+c

=(-4/√3)arctan[(2x+1)/√3]-(x+1)/(x^2+x+1)+c

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

扩展资料：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无限多个原函数。

在一维实空间中，一个区间A= [a，b] 的勒贝格测度μ(A)是区间的右端值减去左端值，b−a。这使得勒贝格积分和正常意义上的黎曼积分相兼容。在更复杂的情况下，积分的集合可以更加复杂，不再是区间，甚至不再是区间的交集或并集，其“长度”则由测度来给出。

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

原式＝∫（-x²-x-1+x-1）/（x²+x+1)² dx
＝∫[-1/（x²+x+1）+（x-1）/（x²+x+1)²]dx
＝- ∫dx/[(x+1/2)²+3/4]+（1/2） ∫（2x+1-3）/（x²+x+1)² dx
＝(-2/√3) ∫d[(2/√3)x+1/√3]/[(2/√3x+1/√3)²+1]+(1/2) ∫d(x²+x+1)/（x²+x+1)² -(3/2) ∫dx/(x²+x+1)²
＝(-2/√3)arctan[(2x+1)/√3]-1/2(x²+x+1）-(3/2)∫dx/[(x+1/2)²+3/4]²
下面设x+1/2＝(√3/2)tanθ则dx＝(√3/2)sec²θdθ，tanθ＝(2x+1)/√3，θ＝arctan[(2x+1)/√3]
原式＝(-2/√3)arctan[(2x+1)/√3]-1/2(x²+x+1）-(3/2)∫(√3/2)sec²θdθ/[(3/4)tan²θ+(3/4)]²
＝(-2/√3)arctan[(2x+1)/√3]-1/2(x²+x+1）-(4√3/3)∫cos²θdθ
＝(-2/√3)arctan[(2x+1)/√3]-1/2(x²+x+1）-(√3/3)∫(cos2θ+1)d2θ
＝(-2/√3)arctan[(2x+1)/√3]-1/2(x²+x+1）-(√3/3)(sin2θ+2θ)+C
用万能公式sin2θ＝2tanθ/(1+tan²θ)
原式化简＝(-4√3/3)arctan[(2x+1)/√3]-（x+1）/（x²+x+1）+C

Answer 3

∫（-x^2-2）/(x^2+x+1)^2dx

=-∫dx/(x^2+x+1) +∫ (x-1)/(x^2+x+1)^2dx
=-∫dx/(x^2+x+1) +(1/2)∫ (2x+1)/(x^2+x+1)^2dx - (3/2)∫ dx/(x^2+x+1)^2
=-∫dx/(x^2+x+1) -(1/2)[1/(x^2+x+1)] - (3/2)∫ dx/(x^2+x+1)^2
=-(√3/2)arctan[(2x+1)/√3] -(1/2)[1/(x^2+x+1)]
-(3√3/8) [ arctan[(2x+1)/√3] + (√3/4)(2x+1)/(x^2+x+1) ] + C
=-(7√3/8)arctan[(2x+1)/√3] -(1/2)[1/(x^2+x+1)] -(9/32)(2x+1)/(x^2+x+1) + C
----------------
consider
x^2+x+1 = (x+ 1/2)^2 + 3/4
let
x+ 1/2 = (√3/2) tanu
dx = (√3/2) (secu)^2 du
∫dx/(x^2+x+1)
=∫(√3/2) (secu)^2 du /(secu)^2
=(√3/2)∫ du
=(√3/2)u + C1
=(√3/2)arctan[(2x+1)/√3] + C1
------------
∫ dx/(x^2+x+1)^2
=∫ (√3/2) (secu)^2 du /(secu)^4
=(√3/2)∫ (cosu)^2 du
=(√3/4)∫ (1+cos2u) du
=(√3/4) [ u +(1/2)sin2u] + C2
=(√3/4) [ arctan[(2x+1)/√3] + (√3/4)(2x+1)/(x^2+x+1) ] + C2

Answer 4

解：∫1/(x²-x-2)dx=∫1/[(x-2)(x+1)]dx=1/3∫[1/(x-2)-1/(x+1)]dx=1/3ln(x-2)-1/3ln(x+1)+C