Question

绝对值不等式的解法

在初升高衔接教材中有“绝对值不等式”的内容。虽然有例题，但是只有答案，没有分析。

比如1≤|2x-1|＜5，以及|x-3|-|x+1|＜1，请问怎么解？

注：我看到有人问了和我同样的问题。http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push

也许我太笨的缘故吧，看不太懂“最佳答案”，希望有人能讲得更细致一些。

我不明白为什么要讨论，还有怎么讨论……

Answer 1

解决与绝对值有关的问题（如解绝对值不等式，解绝对值方程，研究含有绝对值符号的函数等等），其关键往往在于去掉绝对值的符号。

而去掉绝对值符号的基本方法有二：其一为平方，其二为讨论。

所谓平方，比如，|x|=3，可化为x^2=9，绝对值符号没有了！

所谓讨论，即x≥0时，|x|=x ；x<0时，|x|=-x，绝对值符号也没有了！

以下，具体说说绝对值不等式的解法。

首先说“平方法”。

不等式两边可不可以同时平方呢？一般来说，有点问题。比如5>3，平方后，5^2>3^2，但1>-2，平方后，1^2<(-2)^2。

***事实上，本质原因在于函数y=x^2在R上不单调。

但我们知道，y=x^2在R+上是单调递增的，因此不等式两边都是非负时，同时平方，不等号的方向不变，这是可以的。

这里说到的***单调性的问题，是高一数学的重点内容，现在不明白可以跳过，到时候可一定要用心听!

有初中数学的基础，也应该明白，对两个非负数来说，大的那个数，它的平方也相应会大一些;反过来，平方大一些的数，这个数本来也会大一些。

比如|2x-1|≥1，两边同时平方，可得(2x-1)^2≥1，

整理得4x^2-4x≥0，即4x(x-1)≥0，因此x≤0或x≥1

========注意========

这里用到了“一元二次不等式的解法”，现在的初中肯定还是要学一元二次方程的解法的，学不学一元二次不等式的解法，我就不清楚了。如果没学，那“平方法”先放一放，跳到“讨论法”吧——见华丽的分割线！

========END========

一般地，|f(x)|≥a（a>0），那么f(x)^2)≥a^2，即f(x)^2)-a^2≥0

因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0，因此f(x))≤-a或f(x)≥a （*）

（PS.若a≤0，则|f(x)|≥a的解集为R。想一想，没问题吧：））

同理，由|f(x)|≤a（a>0），可得-a≤f(x)≤a。 （**）

熟练了以后，结论（*）、（**）都可以直接使用。

比如|2x-1|＜5，由结论（**）（当然，这里没有等号，将等号去掉就可以了）可得：

-5<2x-1<5，即-2<x<3

这样，第一个问题“1≤|2x-1|＜5”就基本解决了。将不等式|2x-1|≥1，以及不等式|2x-1|＜5的解集求交集即可。答案是解集为{x|-2<x≤0或1≤x<3}

再看第二个问题，|x-3|-|x+1|＜1

这时候有两个绝对值符号，移项后得到|x-2|<|x+1|+1

平方后（注意，为什么可以两边平方！），得到(x-2)^2<(x+1)^2+1+2|x+1|

整理，得2|x+1|>7-8x

你看，平方一次，绝对值符号少了一个，但还有一个，怎么办？当然再平方一次！但问题是，这次还能平方吗？

不可以了，因为7-8x的符号未必是正啊！那怎么办？讨论！

若7-8x<0，即x>7/8，则原不等式显然成立！（为什么？） ①

若7-8x≥0，即x≤7/8，则原不等式等价于4(x+1)^2>(7-8x)^2

整理得：4x^2-8x+3<0，即(2x-1)(2x-3)<0，因此1/2<x<3/2

再考虑到x≤7/8，因此1/2<x≤7/8 ②

综合 ①、②，原不等式的解集为{x|x>1/2}

问题解决了！

====================我是华丽的分割线====================

回到问题的一开始，对于|x-3|-|x+1|＜1这样的不等式，我们更多的时候，可以从一开始进行讨论。

|x-3|中的绝对值符号能否去掉？去掉以后，式子会发生怎样的变化？关键在于x>3还是x<3，

因此x与3的大小关系是一个关键。

同样的道理，考察|x+1|，可以知道x与-1的大小关系也是一个关键。

于是，在两个关键处，进行如下的讨论：

（1）若x<-1，则x+1<0，x-3<0，

此时，原不等式可化为-(x-3)+(x+1)<1，即4<1，荒谬，舍去！

（2）若-1≤x<3，则x+1≥0，x-3<0，

此时，原不等式可化为-(x-3)-(x+1)<1，即-2x+2<1，解得x>1/2

再考虑到-1≤x<3，因此1/2<x<3

（3）若x≥3，则x+1>0，x-3≥0，

此时，原不等式可化为(x-3)-(x+1)<1，即-4<1，显然成立！因此x≥3

综合（2）（3）的结果可知，原不等式的解集为{x|x>1/2}

那么对于第一个例子，1≤|2x-1|<5，怎么用“讨论法”，应该没问题了吧！

（1）若2x-1≥0，即x≥1/2，则原不等式可化为1≤|2x-1|<5，……

（2）若2x-1<0，即x<1/2，则原不等式可化为1≤1-2x<5，……

以下略。

顺便说一下，x=1/2时，2x-1=0，因此数学上，把x=1/2叫做式“2x-1”的零点。我们以上

使用的“讨论法”，更具体的名称是“零点分段讨论法”。

但就其蕴含的数学思想来说，就是“分类讨论”，这可是高中数学的基本思想方法，一定要掌握！

以上，从绝对值的代数意义出发，即“数”的角度，给出了解绝对值不等式的两种常规思路，希望能给你有所启发。

考虑到绝对值还有着极为有趣的几何意义，因此从“形”的角度出发，也可以得到一些有意思的解法。

这事实上就涉及到高中数学中另一种极为重要的思想方法，即“数形结合”。

篇幅的关系，就不赘述了。（其实，我也累了……）

比如这道初中竞赛题：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有兴趣可以试一试！

再说明一下，http://zhidao.baidu.com/question/175584325.html?fr=uc_push这个帖子我也看到了，准备回答的时候（写了一些，但没有你现在看到的这个那么长篇大论），已经封贴了。还想着白写了呢，正好你又发问，也算是有缘吧……

Answer 2

两个绝对值不等式的解法

Answer 3