Question

一道高中数学题，有点难

若函数f(x)=(ax-2)/(x-1)图像关于点(1,1)对称，则a=1
试问这句话对吗？
我的意思是前者是后者的充分还是必要还是冲要条件？为什么？

Answer 1

答：充要条件。
证明：
充分性：∵f(x)关于(1,1)对称
∴[f(1－x)＋f(1＋x)]/2≡1 （x≠0）
(ax－a＋2)/x＋(ax＋a－2)/x≡2
2ax≡2x （x≠0）
∴a＝1
必要性：当a＝1时，有
f(x)＝(x－2)/(x－1)＝(x－1－1)/(x－1)＝1－1/(x－1)
是将函数g(x)＝－1/x向右、向上个移动一个单位
∴对称中心由(0,0)变为(1,1)