Question

设函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx(0，0)=3，fy(0，0)=-1，则：

设函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内有定义，且fx(0，0)=3，fy(0，0)=-1，则：

曲线z=f(x,y),y=0在点（0，0，f（0，0））的切向量为（1，0，3）

请问这是为什么？

Answer 1

理由如下：

A：f(x,y)不一定可微。

B：曲面: z-f(x,y)=0 在(0,0)点上的法向量为(-f’x,-f’y,1)=(-3,1,1) 。

C：该曲线在点(0,0)处切向量为：

曲面：z-f(x,y)=0 在点(0,0)处法向量n=（-3,1,1)。

与曲面：y=0 在点（0,0)处法向量m=（0,1,0)的叉乘n✖️m=（1,0,3) 。

公理

邻域公理是现代数学拓扑结构的基础概念，是定义拓扑的五套等价公理之一。这套公理直接定义了空间上的整套领域系，而非简单定义某个点的邻域。映射U即是将x映射至x邻域组成的集合。

U1：若A是x的邻域，则x属于A。这是显然的。

U2：若A和B都是x的邻域，则A和B的交集也是x的邻域。即邻域对于有限交运算封闭。

U3：若A是x的邻域，则所有包含A的集合都是x的邻域。

U4：若A是x的邻域，则存在一个被A包含的集合B（可以相等），使得B是其中所有点的邻域。换言之，若x有一个邻域，那么一定可以将其缩小，缩小到它是其中所有点的邻域。

Answer 2

看做参数方程
x=x
y=0
z=f(x，0)
【把x看做参数】
根据参数方程形式曲线的切向量公式
T=(1，0，fx)=(1，0，3)

Answer 3

简单分析一下，详情如图所示

Answer 4