Question

积分中值定理的定理应用

Answer 1

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。 在函数极限的计算中, 如果含有定积分式, 常常可以运用定积分的相关知识, 比如积分中值定理等, 把积分
某些带积分式的函数, 常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题, 有时运用积分中值定理能使问题迎刃而解。
在大多数的积分式中, 能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角, 当被积函数“积不出”或者原函数很复杂时, 可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数, 将变化缓慢的部分或积分困难的部分进行估计, 可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法,
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时, 常常考虑运用积分中值定理, 以便去掉积分符号, 如果被积函数是两个函数之积时, 可考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明, 运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论, 或者不等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后, 则可以得到“>”的结论, 或者成功的解决问题。