Question

设a是奇数,证明:必有正整数d使得(2ˇn-3,a)=1

Answer 1

题目中符号残缺，假设是+号来做（如果是-号做法类似），如下：

a(a+1)(a+2)(a+3)+1

=a (a+3)(a+1)(a+2)

=（a²+3a）（a²+3a+2）+1

=（a²+3a）²+2（a²+3a）+1

=（a²+3a+1）²

当a为奇数时，a²+3a+1为奇数。

当a为偶数时，a²+3a+1为奇数。

故无论a为任意整数，那么总有a²+3a+1为奇数，故结论成立。

找规律的方法：

找规律填数字，或者说图形找规律，开始大家都是通过一些对比发现其中的规律，可能有些数列三个数就有“规律”出现，不过并不能确定也只能算是猜。一般需要三个以上，包括前后结合对照才能确认规律。

不论是数列找规律还是图形找规律，都需要比较敏锐的观察力。尤其是一些规律藏得较深，需要胆大心细才能发现。最后在填完之后，需要前后结合检验所找的规律是否正确，以免徒劳无功。

Answer 2

（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m-1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1=a2n+34=m（m-1）+1是奇数．根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．（2）法一：由an+1-an=14（an-1）（an-3）知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak+1＜1+34=1；若ak＞3，则ak+1＞32+34=3．根据数学归纳法得，0＜a1＜1?0＜an＜1，?n∈N+；a1＞3?an＞3，?n∈N+．综上所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．法二：由a2=a21+34＞a1，得a12-4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．an+1-an=a2n+34-a2n-1+34=(an+an-1)(an-an-1)4，因为a1＞0，an+1=a2n+34，所以所有的an均大于0，因此an+1-an与an-an-1同号．根据数学归纳法，?n∈N+，an+1-an与a2-a1同号．因此，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．